结业考核

这是本书过程化考核的最后一环,由两部分组成:综合项目与结业测验。全部完成后,你应当能脱离任何 AI 工具,独立用 NumPy / PyTorch / matplotlib 完成微积分的计算与可视化,并读懂、验证 AI 生成的相关代码——这正是本书的两个核心目标。

一、综合项目

从下面三个主题中任选一个,独立完成。也可以自拟同等难度的主题,但必须先按「统一验收标准」自评。

主题 A:数值微积分计算器

实现数值微分(前向、中心差商)与数值积分(梯形、辛普森),输入任意 Python 函数与区间即可计算;
对、给出与「微积分基本定理解析值」对照的误差分析(表格:n = 10, 100, 1000);
用 matplotlib 画「梯形法逼近」与「误差随 n 变化」两张图;
有能力可扩展:反常积分(截断上限)与数值求导误差曲线。

主题 B:梯度下降演示器

实现一元与二元函数的梯度下降,支持自定义学习率、迭代次数;
画出损失下降曲线与参数轨迹(叠加在等高线图上);
用 PyTorch 自动微分验证手写梯度(至少一个函数,torch.autograd.grad 对照);
演示三种学习率(过小、合适、过大)对收敛的影响,解释原因;
有能力可扩展:动量项或 Adam。

主题 C:线性回归与拟合

用 NumPy 从零实现线性回归的梯度下降(不用 torch.optim),画出拟合直线与损失曲线;
用 PyTorch 实现两层小网络拟合 (参考第 14 章),画出拟合效果;
用「解析最小二乘公式」(正规方程)求出最优、,与梯度下降结果用 np.allclose 对照;
至少一个中途失败/不收敛的例子(如学习率过大),给出错误现象与修正方法;
有能力可扩展:多项式特征回归()。

统一验收标准(全部满足才算通过):

标准	说明
可运行	按注释说明可一键运行,无语法错误
有注释	关键函数有注释,说明「为什么」而不是复述代码
数学正确	结果与解析公式或库函数一致(用 `np.allclose` 或误差阈值验证)
有容错	非法输入(如区间 a > b、学习率非正)给出提示,不崩溃
结构清晰	用函数组织代码,没有大段重复
可视化	至少包含一张 matplotlib 图,并解释图中每个元素

二、结业测验

覆盖第 1~14 章知识点,共 15 题,答对 12 题(80%)以上视为通过。

函数在区间上的平均变化率是?(第 1 章)
- A.
- B.
- C.
- D.
对 , 化简后是?(第 2 章)
- A.
- B.
- C.
- D.
等于?(第 3 章)
- A.
- B.
- C. 不存在
- D.
若在上连续且、,则下列说法正确的是?(第 4 章)
- A. 在内必有零点
- B. 在内必无零点
- C. 在 1.5 处不可导
- D. 无法判断
等于?(第 5 章)
- A.
- B.
- C.
- D.
等于?(第 6 章)
- A.
- B.
- C.
- D.
若在区间上恒成立,则在该区间上?(第 7 章)
- A. 单调递增
- B. 单调递减
- C. 是常数
- D. 有极值
等于?(第 8 章)
- A.
- B.
- C.
- D.
等于?(第 9 章)
- A.
- B.
- C.
- D.
与围成的区域面积是?(第 10 章)
- A.
- B.
- C.
- D.
的是?(第 11 章)
- A.
- B.
- C.
- D.
在原点是什么点?(第 12 章)
- A. 极小值点
- B. 极大值点
- C. 鞍点
- D. 无法判断
中心差商公式是?(第 13 章)
- A.
- B.
- C.
- D.
梯度下降的参数更新公式是?(第 13 章)
- A.
- B.
- C.
- D.
神经网络反向传播的数学基础是?(第 14 章)
- A. 微积分基本定理
- B. 链式法则
- C. 洛必达法则
- D. 夹逼定理

三、结业评审

把项目代码与测验答案交给老师或 AI 老师评审:

项目按「统一验收标准」逐项打分,任何一项不通过则整体不通过;
测验按每题 1 分,≥ 12 分通过;
未通过的部分,由老师指出具体问题并生成补充练习,重做后再审;
通过后,恭喜你——你已经具备独立使用微积分解决真实问题的能力,并能理解 AI 代码中导数、梯度与积分的数学含义。